Claude挑战黎曼猜想：650次尝试后，把关键下界从41.6%推到67.25%

一个诞生于1859年的数学猜想，悬而未决167年。

如今，一个尚未公开发布的Claude研究版本，收到了一条近乎任性的指令：认真尝试黎曼猜想。

它没有宣布攻克这道千禧年难题，却在探索中找到了一扇意想不到的门。Anthropic披露，Claude把能够严格证明位于临界线上的黎曼ζ函数零点比例从此前略高于五分之十二，也就是约41.6%，提升到三分之二；采用优化测试函数后，下界进一步达到约67.25%。

这意味着，Claude挑战黎曼猜想最新进展，并不是又一次刷题成绩，而是开始触及没有标准答案、需要提出新论证的研究问题。

167年前，黎曼留下了一条1/2直线

想理解这次进展，先要回答一个常见问题：黎曼猜想为什么和素数有关？

黎曼ζ函数看起来像一串抽象公式，却与素数的分布深度相连。1859年，德国数学家伯恩哈德·黎曼提出：ζ函数所有非平凡零点的实部，都应该等于1/2。画在复平面上，这些零点就会排列在一条竖直的临界线上。

如果这个猜想成立，人类将能更精确地理解素数分布中的波动。它因此被克雷数学研究所列入七大千禧年难题，完整证明或推翻均对应100万美元奖金。

克雷数学研究所还介绍，前10万亿个相关零点已经通过计算检验落在临界线上，但有限范围的检验再庞大，也不能替代对全部零点的证明。

这正是黎曼猜想100万美元奖金为什么难拿的核心：需要证明的不是很多，而是无限。

从41.6%到67.25%，为什么值得关注？

数学家过去采用了一条更现实的路线：暂时不要求证明100%，而是先回答至少有多大比例的零点在临界线上。

1989年，Brian Conrey把下界推进到超过40%；2019年的一项工作又把结果提高到略高于五分之十二，约41.67%。此后，黎曼ζ函数临界线零点比例长期处在缓慢推进的阶段。

Claude论文给出的核心结论是：至少三分之二的零点既简单又位于临界线上；使用Montgomery–Taylor优化窗口后，比例达到约0.6725。换算成更直观的数字，就是从约41.6%跃升到约67.25%，提高约25.6个百分点。论文还给出至少五分之六的零点互不相同，优化后约为83.625%。

所以，67.2%零点位于临界线意味着什么？它意味着一个长期停滞的相关下界被明显推进，而不是黎曼猜想只剩32.8%。两个问题之间仍隔着深刻的理论距离，但新结果本身已经打开了新的研究空间。

Claude是怎样找到67.25%的？

从技术路线看，Claude并没有凭空创造全部工具。它吸收了Montgomery关于零点对相关性的经典方法、Bombieri对Weil形式负指标的观察，以及近年数学家对无条件零点相关性的推进，再把这些材料放进一个新的线性代数框架。

通俗地说，Claude构造了一个合适的函数空间，用Weil诱导出的Hermitian二次型读取零点：位于临界线上的零点贡献正向结构，偏离临界线的零点则形成成对的非正定结构。

接着，它不再把两部分拆开估计，而是同时利用矩阵的秩、迹和二阶矩建立不等式。正是这个组合，让原本在黎曼猜想成立条件下出现的常数，变成了无须预设黎曼猜想的结论。

这就是Claude如何提高67.2%下界的关键：创新不只来自一个全新公式，也可能来自把已有理论以过去没人采用的方式重新拼接。

650条路线、60个子Agent，像一间全天候研究所

同样值得关注的，是这项结果的发现方式。第一轮中，Claude生成并筛选了约650个思路。

第二轮持续约一天半，它组织约60个子Agent并行探索，累计执行约2400次Shell命令，编写数百个Python脚本，对已知ζ函数零点进行数千次数值检查；两轮会话总计产生约3100万输出Token。

这套Claude多智能体数学研究过程并不是简单堆算力。不同Agent被安排寻找候选路线、验证计算、追踪文献、重推关键步骤和主动寻找反例。论文附录记录：一些对抗审稿人分别检查局部化、素数侧估计和线性代数结构，另有独立Agent从结论出发重新推导。Claude还检索54篇arXiv论文，确认相同结果是否已经出现。

这种模式让Claude 3100万Token数学实验呈现出一种新形态：AI不仅回答一个问题，还能组织提出—计算—质疑—复核—重写的完整研究循环。

从论文到Lean：结果如何接受检验？

发现结果后，Claude主动建议把论证整理为论文，并邀请真正的数论专家检查。Anthropic数学家Levent Alpöge和Ralph Furman研究并验证了论证，数论学家Brian Conrey与Dan Goldston也对论文进行了审阅。

与此同时，关键结果被写成Lean 4形式化证明。Anthropic公开的Zeta23仓库称，论文定理A至E拥有完整、无sorry的形式化，顶层定理不附加额外假设。对关注Lean形式化证明黎曼ζ函数的人来说，这相当于给每一步推理增加了一条可由机器内核重复检查的轨道。

形式化验证、专家审阅和传统学术共同体的持续检验，各自承担不同角色。当前更准确的表述是：这是一项已有论文、代码化证明和专家检查支持的重要新结果，接下来仍将通过更广泛的数学研究继续沉淀。

AI真正改变的，可能是如何做研究

很多人会搜索：AI证明黎曼猜想是真的吗？答案是，Claude没有给出黎曼猜想的最终证明，它推进的是一个高度相关、但边界清晰的比例下界问题。

然而，这次探索依然让Anthropic Claude数学研究能力拥有了新的参照：前沿模型开始从解出已知答案走向在开放问题中寻找可验证的新命题。更重要的是，它展示了一种可复制的科研协作方式：让模型广泛发散，让独立Agent互相质疑，让程序做数值试验，让形式化工具检查推理，再由领域专家把关。

因此，AI能否解决千禧年数学难题或许暂时没有终局答案，但AI能否参与真正的数学发现，这次已经给出了一个令人振奋的样本。

回看黎曼猜想最新研究进展2026，最值得记住的不只是67.25%，而是人类第一次更清晰地看到：机器研究伙伴，正在进入数学前沿的工作流。